Hervorgegangen aus der BSG Motor Brehna in seinem Heimatort im heutigen Sachsen-Anhalt, war Elzner Anfang der 1950er Jahre über die Station Ulm 46 nach Hannover gekommen. Im legendären Meisterjahr der Niedersachsen 1953/54 kam er unter der Trainer-Ikone Helmut "Fiffi" Kronsbein zwar "nur" zu drei Einsätzen, erwies sich dabei aber der Überlieferung nach als wichtiger und vielseitig einsetzbarer Spieler.
Nach seinem Karriereende wurde Elzner Trainer. An der Deutschen Sporthochschule in Köln machte er 1960 unter Hennes Weisweiler die Fußball-Lehrer-Lizenz und debütierte in der damaligen Oberliga Südwest bei Eintracht Bad Kreuznach. Es folgten weitere Stationen, unter anderem in Helbrechts, Hof, Mannheim und Bayreuth, ehe Elzner nach einem Jahr als Coach des FC Augsburg 1981/82 mit dem 1. FC Nürnberg die Bundesliga-Bühne betrat.
Die Zeit beim mittelfränkischen Altmeister dauerte allerdings nur eine Handvoll Spiele - und das im wahrsten Sinne des Wortes: Nach fünf Niederlagen aus fünf Spielen musste Elzner auf Geheiß des damaligen Präsidenten Michael A. Roth seinen Hut nehmen und wurde durch Udo Klug ersetzt.
Der Stadt Nürnberg kehrte Elzner, der nach seiner Trainerkarriere für Puma tätig war, jedoch nicht den Rücken und blieb ihr bis zu seinem Tod als Einwohner erhalten.
